Liga Zadaniowa UMK

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2000/2001
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 6

Wypisz wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe mające tę własność, że każda z nich dodana do liczby zapisanej za pomocą tych samych cyfr wziętych w odwrotnym porządku daje kwadrat pewnej liczby naturalnej.

Rozwiązanie

Liczbę dwucyfrową można zapisać tak: 10x+y

Liczba zapisana za pomocą tych samych cyfr, tylko w odwrotnym porządku to: 10y+x

Kwadrat liczby naturalnej można zapisać jako a²,

więc skoro dwucyfrowa liczba dodana do liczby zapisanej za pomocą tych samych cyfr wziętych w odwrotnym porządku ma dawać kwadrat pewnej liczby naturalnej to

10x+y+10y+x=a²

10x+x+10y+y=a²

11x+11y=a²

11(x+y)=a²

Ponieważ 10x+y i 10y+x są liczbami dwucyfrowymi więc x i y należą do zbioru {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, najmniejsza wartość x+y jest równa 2, a największa 18.

Wynika stąd, że najmniejsza warość 11(x+y) jest równa 22, a największa 198.

Zatem a² zawiera się pomiędzy liczbami 22 a 198.

22 Ł a² Ł 198

a² dzieli się przez 11, bo 11(x+y)=a²

Jedyny kwadrat zawierający się pomiędzy 22 a 198, podzielny przez 11 to 121 czyli:

11(x+y)=121

x+y=11, bo 121:11=11

i wtedy	29+92=121
	38+83=121
	47+74=121
	56+65=121

Odpowiedź

Szukane liczby to: 29,92,38,83,47,74,56,65.